Testes de Hipóteses
Prova Didática: Seleção professor substituto
Carolina Musso
Departamento de Estatística - UnB
O que vimos até aqui
- Estatística Descritiva
- Tendência Central e de Dispersão
- Distribuição normal
- Distribuição Amostral
- Intervalos de Confiança
Hoje
- Testes de Hipótese
Uma motivação
Imagine existe uma forma de medir a ansiedade com um número (uma nota). Nesse exemplo fictício, essa escala ansiedade que pode ter valores negativos (se a pessoa é muito calma) e valores positivos (pessoas mais ansiosas).
Vamos supor ainda que um censo realizado nos anos 90 mostrou que na população do Distrito Federal, a média de ansiedade é 0 unidades de ansiedade (angustigramas), ou seja \(\mu_{1990} = 0\) , com desvio padrão de 5 (\(\sigma = 5\)). Ou seja, em média, o brasiliense não é ( ou pelo menos não era) nem muito ansioso nem muito calmo.
Resultado censo
Motivação
Desconfiamos que esse nível de ansiedade aumentou.
- Esse ano não foi possível fazer um censo, mas somente medir a ansiedade em uma amostra aleatória de 1000 (mil pessoas) do DF.
A média na amostra foi de 0,32 angustigramas.
Será que essa média é mesmo maior que meu valor de referência (média 0)?
Será que por acaso que selecionei justamente as pessoas ansiosas nessa amostra?
Qual a chance de, ao acaso, eu ter selecionado justamente as pessoas mais ansiosas?
Lembra?
- A distribuição amostral da média.
\(E[\bar{x}] = \mu\) ; \(s = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
E se a média da população tiver mesmo mudado?
Tipos de Erro que posso cometer
| Rejeita H0 | Não-rejeita H0 | |
|---|---|---|
| H0 verd. | Erro tipo I | Correto! |
| H0 falsa | Correto! | Erro tipo II |
Tipos de Erro que posso cometer
Qual a intuição do teste de hipótese
- Inferência: Fazer conclusões sem ter acesso a toda a informação.
- Amostras, População, Probabilidade
- Também pode ser visto: Sinal / Ruído
- A “razão sinal-ruído” (ou SNR, do inglês Signal-to-Noise Ratio) é uma medida que compara a intensidade ou força do sinal desejado com a intensidade do ruído de fundo. Em outras palavras, é uma relação que nos diz o quanto o sinal é “forte” em comparação com o “ruído”.
Teste de Hipótese
O que é uma hipótese?
Já fizemos algo parecido…
- Na aula passada
\[ IC = (-0.31, 0.31) \]
- O teste de hipótese pode nos dar mais informações!
Formulação de um teste de hipótese
\(H_0: \mu_{2023} \le 0\)
\(H_1: \mu_{2023} > 0\)
- A hipótese nula é uma declaração que geralmente estamos “tentando” rejeitar em nossa pesquisa.
- A lógica básica: Quando usamos uma amostra para fazer inferências sobre os parâmetros da população, queremos saber se nossa amostra provém de uma população é bem definida pela hipótese nula.
Precisamos calcular um número!
- Uma estatística.
- Um valor que a gente consegue calcular e que sabemos a distribuição!
- Uma amostra de uma distribuição normal, ou grande o suficiente, e se eu conheço a variância populacional:
\[Z = \frac{(\bar{x} - \mu_{nula})}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)\]
- (Podemos olhar na Tabela!)
Quanto estou disposto a errar?
- \(\alpha=0.05\) é um dos mais comuns.
- Fixe a probabilidade de cometer o erro de tipo I e use este valor para construir uma região (regra de decisão). Para tal, vamos usar a estatística que definimos e os valores de parâmetro hipotetizados por \(H_0\)
Cálculo e Conclusão
Use as observações da amostra para calcular o valor da estatística do teste.
Se o valor da estatística calculado com os dados da amostra pertencer à região crítica, rejeite \(H_0\); caso contrário, não rejeite \(H_0\).
“Receita”
Formulação de Hipóteses:
Hipótese Nula ((H_0)): É a hipótese inicial, frequentemente assumindo que não há efeito ou diferença significativa. Geralmente, é representada como uma igualdade ((=, , )).
Hipótese Alternativa ((H_1) ou (H_a)): É a hipótese que se quer testar, indicando a presença de um efeito ou diferença significativa. Pode ser formulada como uma desigualdade ((<, >, )).
Escolha do Nível de Significância (()):
- O nível de significância (\(\alpha\)), que é a probabilidade de cometer um erro do tipo I, ou seja, rejeitar ( \(H_0\)) quando ela é verdadeira. É geralmente escolhido a priori (por exemplo, 0,05 ou 5%).
Computando a Estatísticas do Teste:
- Calcula-se a estatística do teste apropriada com base nos dados amostrais. A escolha da estatística depende da natureza do teste (estamos vendo o teste z. Mas há outros!).
Decisão e Conclusão:
- Compara-se a estatística do teste com uma região crítica determinada pela distribuição de probabilidade sob a suposição de que a hipótese nula é verdadeira. - Se a estatística do teste estiver na região crítica, rejeita-se ( \(H_0\)) em favor de ( \(H_1\)). Se não estiver, não se rejeita ( \(H_0\)). - Se \(H_0\) for rejeitada, há evidências suficientes para afirmar ( \(H_1\)) é uma hipótese mais razoável.
Um exemplo utilizando a região crítica
Voltando ao nosso exemplo da ansiedade
1) Hipóteses
\(H_0: \mu_{2023} = 0\)
\(H_1: \mu_{2023} > 0\)
Estatística \(Z \sim N(0,1)\)
Significância
\(\alpha=0.05\)
- Definir a região crítica.
Computar a estatística
\[Z = \frac{0.32 - 0}{\frac{5}{\sqrt(1000)}} =2.023858 \]
Comparação e Conclusão
\(Z = 2.023858 > 1.645\)
Está na região crítica!
Rejeita-se a Hipótese Nula. Há evidencias que a média de ansiedade na população do DF aumentou.
Uma outra forma de fazer
Qual seria minha região crítica na escala da média, e não de Z?
\[1.64 = \frac{\bar{x}_{crit} - 0}{\frac{5}{\sqrt(1000)}}\]
\[ \bar{x}_{crit} = 0.2583\]
\[0.32 > 0.2593068\], rejeita-se a Hipótese nula.
Mais uma forma…
O p-valor
\(Z = 2.02\)
Que teste fizemos?
- Teste para uma amostra de uma população normal
- Ou uma amostra suficientemente grande
- Variância conhecia
- Unilateral
Como seria o bilaterial?
\[ H_0: \mu_{2023} = 0\\ H_{1}: \mu_{2023} \neq 0 \]
Exercício
Desafios:
- Leia sobre o teste de proporção. Tente relacionar com a média.
- Nomeie pelo menos 2 outros testes de hipótese que existem.
Exemplo Excel
Para os mais corajosos
Exemplo R
[1] 0.02285653“p-hacking”
- Discussão
Para aprofundamento
Bibliografia básica:
Referências
BARBETTA, P. A. Estatı́stica aplicada às ciências sociais. [s.l.] Ed. UFSC, 2008.
LAPPONI, J. C. Estatı́stica usando excel. [s.l.] Elsevier Brasil, 2004.
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatı́stica básica. [s.l.] Saraiva Educação SA, 2017.